Безграничная дробимость up(x)

Шаг 1. Преобразование Фурье прямоугольника $\Pi_a$ (высота 1, носитель $[-a,a]$):

$$\hat\Pi_a(\omega)=\int_{-a}^{a}e^{-i\omega x}\,dx=\frac{2\sin(a\omega)}{\omega}=2a\operatorname{sinc}(a\omega).$$

Шаг 2. Действие оператора $L$ в области Фурье. Если $\hat\sigma_0(\omega)=\operatorname{sinc}(\omega)$, то $L$ домножает на $\operatorname{sinc}(\omega/2)$. Итеративно:

$$\hat\sigma_n(\omega)=\hat\sigma_0(\omega/2^n)\cdot\prod_{k=0}^{n-1}\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^{k+1}}.$$

Шаг 3. Запишем $\hat\sigma_0(\omega/2^n)=\operatorname{sinc}(\omega/2^n)$, а произведение разделим:

$$\hat\sigma_n(\omega)=\prod_{k=1}^{n-1}\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^k}\cdot\operatorname{sinc}^2\frac{\omega}{2^n}.$$

Шаг 4. Произведение в Фурье $=$ свёртка в пространстве. Каждый $\operatorname{sinc}(\omega/2^k)$ отвечает $\Pi_{1/2^k}$:

$$\boxed{\sigma_n=\Pi_{1/2}*\Pi_{1/4}*\cdots*\Pi_{1/2^{n-1}}*\Pi_{1/2^n}*\Pi_{1/2^n}}$$

При $n\to\infty$: $\hat{\operatorname{up}}(\omega)=\prod_{k=1}^{\infty}\operatorname{sinc}(\omega/2^k)$.

Шаг 1. Тождество удвоения: $\sin\theta=2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$. Отсюда:

$$\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2}=\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}=\cos\frac{\omega}{4}\cdot\frac{\sin(\omega/4)}{\omega/4}=\cos\frac{\omega}{4}\cdot\operatorname{sinc}\frac{\omega}{4}.$$

Шаг 2. Итерируем $M$ раз:

$$\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2}=\prod_{m=1}^{M}\cos\frac{\omega}{2^{m+1}}\cdot\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^{M+1}}.$$

Шаг 3. Произведение косинусов через экспоненты. Раскрывая $\cos\alpha=\tfrac12(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})$:

$$\prod_{m=1}^{M}\cos\frac{\omega}{2^{m+1}}=\frac{1}{2^M}\sum_{k=1}^{2^M}e^{ib_k\omega},\quad b_k=\frac{2k-1}{2^{M+1}}-\frac12.$$

Шаг 4. Подставляем в $\hat{\operatorname{up}}(\omega)=\operatorname{sinc}(\omega/2)\cdot\prod_{k=2}^{\infty}\operatorname{sinc}(\omega/2^k)$:

$$\hat{\operatorname{up}}(\omega)=\frac{1}{2^M}\sum_{k=1}^{2^M}e^{ib_k\omega}\cdot\underbrace{\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^{M+1}}\cdot\prod_{j=2}^{\infty}\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^j}}_{\hat\varphi_\varepsilon(\omega)}.$$

Шаг 5. Обратное преобразование Фурье ($e^{ib_k\omega}\leftrightarrow$ сдвиг на $b_k$):

$$\boxed{\operatorname{up}(x)=\frac{1}{2^M}\sum_{k=1}^{2^M}\varphi_\varepsilon(x-b_k),\quad \varphi_\varepsilon=\Pi_{1/2^{M+1}}*2\operatorname{up}(2x)}$$

Шаг 1. Фурье-образ: $\hat\sigma_n(\omega)=\prod_{k=1}^{n-1}\operatorname{sinc}(\omega/2^k)\cdot\operatorname{sinc}^2(\omega/2^n)$.

Шаг 2. Расщепляем один из двух $\operatorname{sinc}(\omega/2^n)$ по Эйлеру — Вьета с заменой $\omega\to\omega/2^{n-1}$:

$$\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^n}=\prod_{m=1}^{M}\cos\frac{\omega}{2^{n+m}}\cdot\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^{n+M}}.$$

Шаг 3. Произведение косинусов даёт квазиполином с узлами $b_j^{(n)}=\frac{2j-1-2^M}{2^{n+M}}$:

$$\prod_{m=1}^{M}\cos\frac{\omega}{2^{n+m}}=\frac{1}{2^M}\sum_{j=1}^{2^M}e^{ib_j^{(n)}\omega}.$$

Шаг 4. Подставляем и группируем нерасщеплённые множители:

$$\hat\sigma_n(\omega)=\frac{1}{2^M}\sum_{j=1}^{2^M}e^{ib_j^{(n)}\omega}\cdot\underbrace{\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^{n+M}}\cdot\prod_{k=1}^{n-1}\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^k}\cdot\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^n}}_{\hat\varphi^{(n)}_\varepsilon(\omega)}.$$

Шаг 5. Обратное преобразование:

$$\boxed{\sigma_n(x)=\frac{1}{2^M}\sum_{j=1}^{2^M}\varphi^{(n)}_\varepsilon\!\left(x-b_j^{(n)}\right)}$$

Шаг 1. $B$-сплайн порядка $p$: $\hat B_p(\omega)=\operatorname{sinc}^{p+1}(\omega/2)$. Выделяем один $\operatorname{sinc}$:

$$\hat B_p(\omega)=\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2}\cdot\operatorname{sinc}^p\frac{\omega}{2}.$$

Шаг 2. Расщепляем выделенный $\operatorname{sinc}(\omega/2)$ по тождеству Эйлера — Вьета:

$$\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2}=\frac{1}{2^M}\sum_{k=1}^{2^M}e^{ib_k\omega}\cdot\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^{M+1}}.$$

Шаг 3. Подставляем и группируем:

$$\hat B_p(\omega)=\frac{1}{2^M}\sum_{k=1}^{2^M}e^{ib_k\omega}\cdot\underbrace{\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^{M+1}}\cdot\operatorname{sinc}^p\frac{\omega}{2}}_{\hat\psi_\varepsilon(\omega)}.$$

Шаг 4. Идентифицируем базис. $\operatorname{sinc}^p(\omega/2)=\hat B_{p-1}(\omega)$, $\operatorname{sinc}(\omega/2^{M+1})=\widehat{\Pi_{1/2^{M+1}}}(\omega)$, но прямоугольник должен иметь высоту $2^M$ (чтобы площадь $=1$):

$$\psi_\varepsilon(x)=\Pi_{1/2^{M+1}}^{(2^M)}*B_{p-1}(x)=2^M\!\int_{x-\delta}^{x+\delta}B_{p-1}(t)\,dt,\quad \delta=\frac{1}{2^{M+1}}.$$

Шаг 5. Обратное преобразование Фурье:

$$\boxed{B_p(x)=\frac{1}{2^M}\sum_{k=1}^{2^M}\psi_\varepsilon(x-b_k),\quad b_k=\frac{2k-1}{2^{M+1}}-\frac12}$$

Шаг 1. Рекурсия $B$-сплайнов в Фурье: $\hat B_{n+1}(\omega)=\operatorname{sinc}(\omega/2)\cdot\hat B_n(\omega)$.

Шаг 2. Расщепляем $\operatorname{sinc}(\omega/2)$ тождеством Эйлера — Вьета (шаги 1–3 из §2):

$$\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2}=\frac{1}{2^M}\sum_{k=1}^{2^M}e^{ib_k\omega}\cdot\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^{M+1}}.$$

Шаг 3. Подставляем:

$$\hat B_{n+1}(\omega)=\frac{1}{2^M}\sum_{k=1}^{2^M}e^{ib_k\omega}\cdot\operatorname{sinc}\frac{\omega}{2^{M+1}}\cdot\hat B_n(\omega).$$

Шаг 4. В пространстве: $\operatorname{sinc}(\omega/2^{M+1})\cdot\hat B_n=\widehat{\Pi_{1/2^{M+1}}^{(2^M)}*B_n}$:

$$\boxed{B_{n+1}(x)=\frac{1}{2^M}\sum_{k=1}^{2^M}\left[\Pi_{1/2^{M+1}}^{(2^M)}*B_n\right](x-b_k)}$$

Базис $\Pi^{(2^M)}_{1/2^{M+1}}*B_n$ — это $B_n$, сглаженный узким прямоугольником высоты $2^M$. При $M\to\infty$ базис $\to B_n$, а сумма $\to$ интеграл.